如何评价2021年第三届阿里巴巴全球数学竞赛？

　　如题

　　2021年阿里巴巴全球数学竞赛与2021年5月16日开始预选赛。

　　6.18更新：进了进了！可耻的晒个100+。初赛还是用力过猛了。

　　希望决赛加油。策略就是尽量保主赛道吧，数论狗其他的真的是啥也不会。

　　（新闻+闲聊类的在上面更新，技术类在底部更新。）

　　--------

　　人在北美，今年第一次参加，刚做完题。个人背景是曾经的解析数论PhD，毕业后去了业界码农。

　　比赛还剩几个小时，怕说多了难免题透，还是先占个楼，等彻底结束了再写详细感想吧。

　　当地时间周六晚上开始看题，看完过后跟父母视频了1个多小时，一边闲聊还一边在试第1题。我妈问我你在写啥呢，看你好像拿了根笔。。。

　　周日挑了比较容易的两道大题来做，都是一眼看上去有思路的。有一个细节还挺烦的，查了下大一的教材。

　　周一要上班，还好是work from home。开会间隙继续做不太会的大题。完全不是我学的方向，大部分时间在查书。还好最后搞出来了。

　　今天周二早会划水写最后一个大题。正在有点思路但是算出来怎么都不对的状态，被同事告知程序出bug了，又跑去联调。调完突然想明白了，写完收工。

　　实在没时间打LaTeX，全程手写。这几天空闲时间全都投进去了，游戏也没打成。

　　都说前两年决赛是PhD qualify难度，我怎么觉得今年大题做着比我入学的时候考qualify费劲呢。一定是我老了。不会要接近满分（100+）才能进决赛吧。

　　------比赛结束后的分割线------

　　更新：

　　看了很多人处理那个矩阵题没有重根的方法，好像没有和我的重复的，所以还是写写大概思路吧。

　　我的思路用到一个引理：

　　若n阶实对称方阵M的特征值为 ，M的左上角n-1阶主子方阵的特征根为 ，则 。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　题目中的 是可以具体算出来的。注意正交变换不改变特征值，所以这个引理其实对任意的2阶主子方阵都成立。如果 有重数大于1的特征值，那么它也一定是任意一个2阶主子方阵的特征值。也就是3个主子方阵的特征方程有公共根。这样把算3阶矩阵转化成算2阶矩阵的问题，就好下手多了。

　　1.5更：

　　发现自己有个特别傻的笔误，笑死了。不知道会扣几分。移项一个变了号，一个没变。

　　1.75更：

　　今晚太累了，只能更新个小品。第8题(ii)的不等式是有实际意义的。

　　为了简单我还是用人口模型的语言来说，用户使用时长->年龄。拉进来的用户->生娃。用户退出->挂掉。

　　由于题目假设了c=0, 所以在任何一个时刻，每个人都是之前某个时刻的人的后代。这样往上追溯，可以追溯到t=0时刻的老祖宗。以 表示t=0时x岁的所有人在t时刻的全部后代。那么d(x)=0的时候，也就是人永远不挂的情况下， 才会达到最大值。这种情况下的 是可以很简单解出来的。然后把 重写成

　　

　　就可以很方便的得到题目要的估计了。

　　2更【第5题的一般结果，参考SIAM Review的一篇文章(http://kolda.net/publication/SIAM-42889.pdf)】（5月22日）

　　这类问题一般被称为Generating Set Search (GSS)。题目里有几个点是可以变成更一般的配置的：确定每次搜索方向的向量。题目选了一组自然正交基的正负方向，其实可以是满足一定条件（条件的某个等价形式后面会说到）的任意向量集合D，称为Generating Set。决定每步搜索是否成功的函数，称为forcing function。题目用了步长的平方 。一般地，可以用任意的单调增且满足 的函数。步长的缩放常数。成功时可以用任意>=1的常数（可以依赖于步数），失败时用<1的常数（也可以依赖于步数，但是要有global的，小于1的上界）。f的凸性条件也可以暂时去掉。暂时只需要f有下界就好了。

　　我们需要想办法让f的梯度参与整个估计。一个朴素的想法是把梯度投影到D的每个元素上，再使用中值定理得到下降的量与梯度的关系。这时就要求D不能太差。在考题的情况下，是总能找到一个方向，使得负梯度的投影大于梯度模长的 。一般地来说，D只要能满足

　　 ，

　　也就是保证总能找到一个方向的投影的正下界就可以了。

　　此时，对任意的k，在题中算法迭代的第k步，都能找到某个搜索方向 ，使得

　　(1) 。

　　在这个方向使用中值定理，有

　　(2) 。

　　如果这一步迭代失败了，也就是说任何一个方向都下降的不够多，那么(2)的左边 。

　　现在(2)/ - (1), 再对两个梯度值的差使用Lipschitz条件，得到

　　 。

　　我们成功地用步长控制了梯度。只要我们能再证明步长的某种收敛性就行了。事实上可以证明

　　 。

　　采用反证。如不然，则存在 使得 对所有k成立。此时成功的迭代次数一定是无限次。在这些成功的步有

　　 ，

　　而在不成功的步这个差都是0。对k求和可以得到 ，这和f有下界矛盾。

　　如果成功时的缩放常数有global的上界 ，那么还可以证明更强的 。因为如果找出一个有正下界 的子列 ，可以把 换成他前面最近的成功迭代的步数，得到的新子列全是成功的迭代，且步长依然有正下界 。后面导出矛盾的方法是一样的。

　　综合前面的结果我们在非常一般的情况下得到了 。

　　注意写到这里，我们并没有用到每一步都是选的下降最大的方向，只需要下降足够就行了。再引入更多的条件，可以证明某些情况下 的所有聚点都是梯度为0的。这里就不继续展开了。

　　更新计划（万一我弃坑了，或者等不及的朋友可以自行看paper）：

　　3更 【第8题的一般结果，参考Michel的文章(http://calvino.polito.it/~mcrtn/PUBLICATIONS_files/FranceN/pop_3_3.pdf)】（5月24日）

　　题目中的模型一般称作age structured population model。一般形式会多带一个diffusion term：

　　

　　类似第三问的结果称为entropy structure。通常需要假设对应的特征值问题有最小正特征值存在。

　　有diffusion term的时候，第三问的不等式结果依然成立。除了Jensen不等式的那部分，还会多出一个 含 的项：

　　

　　也是非正的，不影响结论。

　　最后证明的等式会变成L1意义下的收敛。

　　完结撒花。希望能进决赛！

　　今年的题比较偏分析，不是很擅长，基本达到了我的极限。工作生活也占用了很多时间，72小时里只能挤出20多小时吧，尽力压缩了睡眠，最后勉强把能答得答完了。感觉逼近了自己的极限，但是还是很快乐的。以后可能都要初赛一日游了，但还是会年年坚持来玩玩的。

　　以下为我的答案。我写成pdf然后截图上传的，那个答题编辑器太渣了——考了三年的经验之谈。

　　第一二题，可以放无数人，归纳法构造。

　　第三四题，奇偶性check需要粘合的棱数，不可能。其实对比其他问题的难度，我是感觉这个题不对劲的，但当场实在没有勇气选“是”。看到正确答案感觉凉凉的。希望这位出题者把意图说的再清楚一点，不然带偏了太多人了。

　　第五题没做完，最后靠口胡的，不知能混几分

　　第六题，(i)白给(ii)硬算的。。。。

　　第七题什么鬼，命题人偷懒？然而评论区直接指出：我太飘了。大意了大意了。

　　第八题，只会做前两问，沿着斜线积分呗。至于你们说的gw定理我早忘了，但是俺能现推，哈哈哈哈。第三问实在没看懂，貌似是凸分析+非线性规划，难道这就是业界流行的AI理论的背景？望大佬指点江山。另外希望初赛还是以本科背景为主吧，重视解题技巧为好。。

　　更新：62分低空飘过，算了能过就行

　　考炸了, 67都错了, 5直接没写

　　6是没想到, 7不知道咋回事证出来常数不存在, 心态崩了

　　第8题第3问, 想了好久才意识到凸函数性质只能通过Jensen用上

　　作为一场没有学历限制、线上即可参与的数学竞赛，今年阿里巴巴全球数学竞赛吸引了5万余人报名参加，其中除了数学专业的本科生、博士、老师外，还吸引了警察、地铁司机、中药师等其他行业的数学爱好者加入比赛。

　　不过这可不意味着它的考题也很亲民。

　　在去年第二轮预选赛中，也是有5万+选手报名，最后却只有1.6万人提交答卷。

　　刚刚，阿里达摩院公布了今年的考题。

　　不如我们来看看它究竟有多难！

　　今年的6道题依旧很“阿里”，题面非常通俗。

　　但解起来就。。。

　　考查的内容覆盖了线性代数、几何、拓扑学等大学数学知识，但又远远不止于此。

　　不愧是全民都能参加的竞赛，第一题就是这么亲切。打疫苗啊，我熟，我打过。

　　但没想到你们把留观也玩成了几何问题。

　　毕竟我们在留观的时候只会想玩手机。

　　看到题目后，我们忍不住立刻画了个圆。

　　

　　虽然这题看上去就是个圆，非常通俗，但其中一定有诈。

　　果然，它其实想考的是“级数求和”的思想和算法。比如一个物体，它的运动轨迹跟状态和时间是相关的，类似于微分方程，逐步迭代，要求趋近于无穷项的和，实际上是求极限。

　　如果距离稍微大一点，类似的组合几何的问题，在19世纪的时候就基本被解决了。

　　而现在的问题明显更复杂。

　　现在其实就是要求出圆上满足条件的点最多有多少个。

　　可以根据题中约束条件，每两个人之间都得满足距离的不等式，通过级数求和的方式最大不能超过整个圆周的周长，从而求出最多有多少个点，来判断人数。

　　其实这类问题在生活中还有更多的应用场景，比如圆环排队或者求链上点的约束解。

　　或许这就是：数学来自生活，数学也能高于生活。

　　这也是数学竞赛的魅力所在，通过熟悉的场景入手，激发大家对数学的兴趣和思考问题的能力。

　　据说，这个题目是出题老师在某天睡觉时灵光乍现想出来的。

　　他想到了自己高三参加国家奥数集训时，和队友把名字签在了足球的不同面上，类比成几何体，然后就想到了这个出题思路。好家伙，没想到第二题居然来自参赛的前辈们，是要把我们后浪拍死在沙滩上吗？还是睡觉时，难道这就是传说中的躺赢？

　　这道题没什么背景知识的要求，考察的更多是对数学的悟性和感觉，还是需要很强的空间想象力的。

　　去年靠花式拉面火了一把的张师傅，今年来到了达摩院给扫地僧做面。

　　这一次，他来和工程师小李拧古董收音机了。

　　还搞出了一种自动前后调整算法(AFBT)。

　　不过今年他和小李的这个证明，怎么给人一种：每个字都认识，但就是不知道在说啥？

　　这题涉及到了优化算法，可以充分代表当下最火的人工智能、深度学习等信息科学研究的问题。

　　据说波音公司，在设计飞机部件的时候，都会用到这个算法。

　　看来，数学还是计算机和工程学科的“爸爸”。

　　唉，前面看不懂就看不懂吧大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。

　　深呼吸~

　　直接翻到最后一题。

　　居然还是和疫情有关，讨论了疫情下用软件上网课的问题。

　　疫情期间，很多人会用软件上网课，但为什么有些软件立刻能吸引很多用户？

　　其实经常是因为用户之间的推荐。对每个人的个体建模比较简单，但微观和宏观上的模型又是如何统一的？

　　出题老师观察到这个现象，然后返回来去慢慢捋，想出了这个现象背后的数学问题。

　　所以这道题也是百分之百来源于生活。

　　看得出来，数学的原理和互联网的实际业务紧密相关。

　　通过简单的数学原理能够解决复杂的问题，的确可以推进互联网业务，帮助实现软件的用户成长。

　　早在今年比赛开始报名时，就有人在知乎提问：我高考数学142分，可以去试一试吗？

　　这一下炸出了许多数学狂魔。

　　大家纷纷表示用高考数学成绩来衡量水平可能并不准确，但是重在参与嘛！

　　这也与马云创办大赛的宗旨不谋而合，就是英雄不问出处，对数学感兴趣的都可以来。

　　在今年报名的5万多名选手中，不仅有数学专业的大学生、博士、老师，还有警察、地铁司机、全职妈妈、中药师等等，还包含了172名初中生、30名小学生。

　　其中不乏《最强大脑》“天才少年”陆畅等大众熟悉的面孔。

　　据悉今年预选赛共1轮，于5月19日上午8点结束。

　　预选赛成绩和决赛名单暂定于2021年6月15日公布。

　　决赛也采取线上答题形式，包含以下五个赛道：

　　1.代数与数论2.几何与拓扑3.分析与方程4.应用与计算数学5.组合与概率

　　各个方向命题范围会在5月中下旬公布。

　　决赛定于6月26日（周六）北京时间早8点开赛，当天24点结束。

　　选手需要在16个小时内选择连续的8小时答题。

　　此外，作为一项公益性比赛，大赛也设置了实打实的奖金来奖励优胜者。

　　去年的金奖就由4位90后大牛包揽，其中3位来自中国大陆，一位来自新加坡。

　　95后博士张钺两度夺金，更是引起了不小的轰动。

　　今年的比赛中，将设置：

　　金奖（4人）：每人2万美金奖学金银奖（6人）：每人1万美金奖学金铜奖（10人）：每人5千美金奖学金优秀奖 （50人）：优秀奖证书

　　获奖选手将有机会参与暑期的数学讲坛，获得数学名师推荐深造机会。

　　这一回又将是哪些大佬赢得丰厚奖金呢？

　　让我们拭目以待！

　　第三届的题目整体很棒，前两题的选择部分都是考验数学直觉，理论上正常人都是可以做对的（证明解答会需要一定数学知识，不过也不涉及很高等的知识）。第一题的创新性也非常值得赞赏，疫情安全距离给数学家们玩出花来了hh 很有趣的题面。

　　今天我也主要来说说做数学题的那些事儿。其实，我多年的做题经历里，向来以解难题出名（中学时代我的同学里有后来的高考状元，IMO金牌，因此平时测验常常非常困难，然而我的最大成就是曾经全年级唯一解对某题的人）。反而有时候所谓“简单题”，老师让班级里“做错的同学站起来”，我也是那位独苗233。一直到高考，压轴题满分的我最终146分的原因也是，丢了一道填空题…（知道这件事情的同学们也只会表示：“这确实很某人。”）

　　当然，标榜善于做难题的本人在中学时代却并未参与奥数竞赛，这其中有诸多缘由，这里暂且不表。后来博士期间当助教，有幸和许多IMO小朋友切磋，算是更好地了解了所谓“竞赛思维”是个什么东西。

　　不过我们先来讨论一下数学题的本质是什么。事实上，数学题可以认为是给定“迷宫”入口和出口并要求解题者找到一条从入口到出口的路径的过程（因此很显然，通常意义上来说解法都不止一种）。所谓的解题技巧训练很多时候就是熟悉了迷宫的某些局部结构，从而可以更快地找到通向出口的捷径。

　　那么什么是数学题中的“送分题”呢？我觉得大概有3条标准。

　　1、统计学意义上，大多数人应当都能做对的题。

　　2、不需要很多的先验知识，用初等数学方式就可以解。

　　3、“迷宫”结构比较简单，存在不需要弯弯绕多次曲折就能找到的解法。

　　除了本届的1、2题，另外一个实际的例子来自上届阿里巴巴数学竞赛：“蚂蚁森林”的植树问题。上届赛题

　　以知乎用户的水平来说，这里的第一问就是纯送分（答案是7），而第二问应当也可以看成是送分题。因为第二问也存在一个最笨的办法就是遍历法，即如何找到迷宫的出路：把所有可能的路径全部试一遍就可以了！这也可以叫做程序员解法（很容易编写一个程序来实现）：遍历法的算法复杂性指数倍于方格的数量，但是因为这里问题规模很小，所以并不是个问题。

　　该题可以看作组合数学的一个实例。组合数学这个学科的特点就是许多题目都是没有受过高等数学教育的大众可以理解的，其中一些题目的解是“平凡”的：初等方法即可解出，然而有一些问题看着简单（“送分”）却实际会非常难。比如早在几百年前，著名的柯尼斯堡七桥问题，也即一笔画问题，事实上最后由欧拉证明不存在一种一笔画的路径，这也成了图论史上第一篇重要的论文。在数学上，往往证明不可能（impossibility result）比证明可能就是要更难的。比如冯·诺依曼就曾表示上帝大概（probably）是存在的，而他给出的理由则是：“如果他老人家存在（而不是不存在），许多事情就更容易解释了。”（There probably is a God. Many things are easier to explain if there is than if there isn't.）而冯大牛晚年其实还真皈依了天主教，当然这就是另外一个故事了。七桥问题的简化图

　　事实上，是否是“送分题”是存在一定的主观色彩的。总之，不管是不是送分题，对不是你能一眼看穿题面的题来说，做题本身也是学知识的一种极佳方式。我本科的时候，某数学系教授就曾曰过：“设计出好的数学题目可以极大提升学生的好奇心并让他们快速学习新知识。”（我的评论曰：一入数学深似海，不会做题也枉然。）事实上，对于许多前沿知识甚至科研来说，做题可能都是一种重要的知识储备和创造的方式。

　　关于做题导致重大科学发现的，我也要举两个例子。第一个例子是20世纪十大算法之一单纯形法（simplex method）的发明，就是当年丹齐格（George Dantzig）当PhD学生时上课迟到误把教授黑板上留的公开问题当成了作业题（“简单题”）…丹齐格的这一美妙的误会促成了2周之后他的不朽的发现。 另一个例子则是著名数学家张益唐在研究“孪生素数”的有界性猜想时，并不知道其实虽然大家公认这个问题离解决只有“一根头发丝”的距离，但是许多大数学家已经专门组织了研讨会讨论了半天，最后一致认为其实这个距离简直是咫尺天涯，根本没法搞定，于是大家各回各家了…George Dantzig (1914-2005)张益唐 (1955-)

　　因此许多数学竞赛有其积极意义。这里我们回到前面阿里数学竞赛的“蚂蚁森林”题，这道题的第三问就没有那么平凡了。

　　要完美地求解这道题，则需要比较良好的概率论、优化方面的运筹学核心知识。然而我想，即使是一个普通人，也至少能理解这道题的题面表达的含义。这个问题其实可以拓展成一般意义上一个（电商、零售）公司的库存管理问题（这里两种树就是两种不同的库存）。关于解答，我本人也曾在去年给出过一个详解：覃含章：矩问题和分布式鲁棒优化：由阿里数学竞赛题说开...

　　因为我自己其实就是主攻运筹学的，我觉得这道题实际上产生了很好的效果。一方面来说，有趣的题面会让更多人了解到数学也是可以有趣而且有用的。与此同时，数学不仅只有理论，而理论是真的可以解决许多实际问题的。就还是拿我研究的运筹学学科为例，它最早的诞生就来源于二战中的空军编队/行动策划、兵团部署、军事物流问题，也源自工业革命之后大生产时代的大规模生产计划问题。直到今天，它在军事、物流、金融、交通、医疗、能源等许多重要的领域也发挥着重要的作用。

　　第三届比赛中（第5题），我们也看到了优化算法在收音机调频中的应用。事实上，优化算法的思想已有诸多应用：这几年大火的深度学习的“调参”过程，主要也是通过优化算法来实现的。张师傅yyds

　　而且，我觉得对一个好的（面向大众）比赛来说，“送分题”和有区分度的难题都是重要的。毕竟面向大众的比赛，目的不应当仅仅是筛选出牛人，而也应当寓教于乐（毕竟也要推广数学嘛），让更广泛的参与者真正拥有参与度，全是难题那就真的把许多人劝退了。一道好的题目，即使当时没做出来，也当值得令人事后回味。我想，出题和解题真正的意义在于唤起人们内心的好奇心，而好奇心本身我认为就是人类学习和进步的最大动力。更何况，出一道好的简单题在我看来许多时候比一道单纯的难题要难得多。

　　最后也利益相关一下，毕竟几位达摩院的老师我其实也认识，我想真正的数学大师不仅自己可以搞高级的研究，也当可以好好地说人话，而且说有趣且生动的“人话”。也就是说，能上天也能入地，上天入地者也。